反向传播公式推导

在计算机科学家(也很可能是数学家)在提出DL在计算机上可行的时候，(我相信) 算力友好的计算Cost functon 对每个参数的导数($\frac{\partial C}{\partial w_{j k}^{l}}$ 和 $\frac{\partial C} { \partial b_{j}^{l}}$)是非常重要的一点。

符号表示

为此，这里引入了中间变量$\delta_{j}^{l}$ 定义为在$l^{th}$层的第$j^{th}$个神经元上的误差:

$\delta_{j}^{l} \equiv \frac{\partial C}{\partial z_{j}^{l}}$

这里$z_j^l$指的是第$l^{th}$层的第$j^{th}$个神经元的激活函数的带权输入:

$z_{j}^{l}=\sum_{k} w_{j k}^{l} a_{k}^{l-1}+b_{j}^{l}$

看起来更直观的做法可能会把激活函数输出作为引入变量来推导，但是事实是用$z_j^l$来表示会更方便。

从$\delta_j^L$ 出发： 大写的$L$表示最后一层，即输出层的误差，计作BP1

$\delta_{j}^{L}=\frac{\partial C}{\partial a_{j}^{L}} \sigma^{\prime}\left(z_{j}^{L}\right)$

BP1 是按分量构成的表达式，如果重写为用矩阵表示，计作BP1a，即：

$\delta^{L}=\nabla_{a} C \odot \sigma^{\prime}\left(z^{L}\right)$

其中$\nabla_{a}C$ 是一个向量，元素为$ \partial C / \partial a_{j}^{L} $  

既然最后一层的误差已经可以表示，那对于中间层呢？

先给出结论，下式记作BP2 ：

$\delta^{l}=\left(\left(w^{l+1}\right)^{T} \delta^{l+1}\right) \odot \sigma^{\prime}\left(z^{l}\right)$

证明：

BP2的核心就是把$\delta_j^l$ 和 $\delta_j^{l+1}$ 关联起来，证明的时候我们尝试用$\delta_{k}^{l+1}=\partial C / \partial z_{k}^{l+1}$的形式重写$\delta_{j}^{l}=\partial C / \partial z_{j}^{l}$ ，我们从后者出发来推：

$\begin{aligned} \delta_{j}^{l} &=\frac{\partial C}{\partial z_{j}^{l}} \\ &=\sum_{k} \frac{\partial C}{\partial z_{k}^{l+1}} \frac{\partial z_{k}^{l+1}}{\partial z_{j}^{l}} \\ &=\sum_{k} \frac{\partial z_{k}^{l+1}}{\partial z_{j}^{l}} \delta_{k}^{l+1} \end{aligned}$

这里第二步引入$z_k^{l+1}$

第二步到第三步是把等号右边的两项交换了位置，根据设定，可以把$\frac{\partial C}{\partial z_{k}^{l+1}}$ 写作$\delta_{k}^{l+1}$ 

然后为了计算$\frac{\partial z_{k}^{l+1}}{\partial z_{j}^{l}}$，我们先回顾一下：

$z_{k}^{l+1}=\sum_{j} w_{k j}^{l+1} a_{j}^{l}+b_{k}^{l+1}=\sum_{j} w_{k j}^{l+1} \sigma\left(z_{j}^{l}\right)+b_{k}^{l+1}$

做微分以后就得到了：

$\frac{\partial z_{k}^{l+1}}{\partial z_{j}^{l}}=w_{k j}^{l+1} \sigma^{\prime}\left(z_{j}^{l}\right)$

把上面式子带入回前式可得：

$\delta_{j}^{l}=\sum_{k} w_{k j}^{l+1} \delta_{k}^{l+1} \sigma^{\prime}\left(z_{j}^{l}\right)$

这正是分量形式的BP2，于是就证明了可以通过后一层的误差$\delta$来计算前一层误差